NOCHIZIQLI GIPERBOLIK SISTEMALAR UCHUN LYAPUNOV MA’NOSIDA TURG’UN OQIMGA QARSHI PARCHALANUVCHI AYIRMALI SXEMA
Keywords:
dissipativ chegaraviy shartlar, KFL sharti, diskret Lyapunov funksiyasi, oqimga qarshi ayirmali sxema, eksponensial turg’unlik, Lyapunov turg’unligi, giperbolik balans qonunlariAbstract
Ushbu maqolada bir o’lchovli, o’zgaruvchan koeffitsientli, nol tartibli bog’lanish hadiga ega hamda dissipativ chegaraviy shartlarga bo’ysunuvchi chiziqli giperbolik balans qonunlari sistemasi o’rganiladi. Tadqiqotning maqsadi — uzluksiz aralash masalaning Lyapunov ma’nosidagi eksponensial turg’unligi uchun yetarli shartni aniqlash va shu shartga mos keluvchi, sonli yechimni hisoblashda ham eksponensial turg’unlikni saqlovchi ayirmali sxema qurishdan iborat. Tadqiqot og’irlangan kvadratik Lyapunov funksiyasi usuliga asoslanadi: xarakteristik tezliklarga bog’liq eksponensial og’irlik funksiyalari kiritiladi va chegaraviy shartlarning dissipativligi matritsaviy sharti orqali ifodalanadi. Chegaraviy shartlarning dissipativligi va bog’lanish matritsasining nomanfiy aniqlanganligi asosida uzluksiz masalaning -normada eksponensial turg’unligi to’liq isbotlanadi. Sonli yechim uchun oqimga qarshi parchalanuvchi (fractional-step) oshkor ayirmali sxema qurilgan. Diskret Lyapunov funksiyasi, bir qadamli kontraksiya bahosi va xarakteristik tezliklarning Lipschitz uzluksizligiga asoslangan o’lchov (scaling) lemmasi yordamida, Kurant–Fridrixs–Levi (KFL) sharti va aniq -to’r sharti ostida sxemaning -normadagi eksponensial turg’unligi isbotlangan. Diskret dissipativlik va bog’lanish hadining nomanfiyligi uzluksiz teoremaning tabiiy diskret analoglari sifatida alohida shart tarzida qo’yilgan. Nazariy natijalar sonli tajribalar bilan tasdiqlangan: shartlar bajarilganda diskret Lyapunov funksiyasi monoton kamayadi, shartlar buzilganda esa o’sish kuzatiladi. Olingan natijalar giperbolik tipdagi chegaraviy masalalar uchun turg’un sonli sxemalarni qurishda, xususan gidravlika, gaz dinamikasi va transport jarayonlari modellarida qo’llanilishi mumkin
References
[1] G. Bastin, J.-M. Coron, Stability and Boundary Stabilization of 1-D Hyperbolic Systems, Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications, vol. 88, Birkhäuser, 2016.
[2] J.-M. Coron, G. Bastin, B. d’Andrea-Novel, Dissipative boundary conditions for one-dimensional nonlinear hyperbolic systems, SIAM Journal on Control and Optimization, 47(3) (2008) 1460–1498.
[3] R.D. Aloev, A.M. Blokhin, M.U. Khudoyberganov, One class of stable difference schemes for hyperbolic system, American Journal of Numerical Analysis, 2(3) (2014) 85–89.
[4] S.K. Godunov, Equations of Mathematical Physics, Nauka, Moscow, 1979.
[5] R. Courant, K. Friedrichs, H. Lewy, Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik, Mathematische Annalen, 100 (1928) 32–74.
