ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КВАДРАТИЧНЫХ ГОМЕОМОРФИЗМОВ СИМПЛЕКСА
Keywords:
квадратичный стохастический оператор, оператор Вольтерра, гомеоморфизм симплекса, функция Ляпунова, ω-предельное множество, турнир, гетероклинический циклAbstract
Исследуются вольтеровские квадратичные стохастические операторы на двумерном симплексе, являющиеся гомеоморфизмами симплекса. В терминах кососимметрической матрицы оператора получен критерий существования внутренней неподвижной точки, совпадающий с цикличностью соответствующего турнира. Доказано, что в ацикличном случае все внутренние траектории сходятся к вершине-источнику со скоростью, определяемой элементами матрицы. В цикличном случае построена строго убывающая функция Ляпунова и доказано, что -предельное множество каждой нетривиальной внутренней траектории бесконечно и лежит на границе симплекса. Результаты подтверждены численным экспериментом в логарифмических координатах
References
1. Бернштейн С.Н. Решение одной математической проблемы, связанной с теорией наследственности // Учёные записки Н.-И. кафедр Украины. — 1924. — Вып. 1. — С. 83–115.
2. Ulam S.M. A Collection of Mathematical Problems. — New York: Interscience, 1960.
3. Любич Ю.И. Математические структуры в популяционной генетике. — Киев: Наукова думка, 1983.
4. Захаревич М.И. О поведении траекторий и эргодической гипотезе для квадратичных отображений симплекса // Успехи мат. наук. — 1978. — Т. 33, № 6. — С. 207–208.
5. Ганиходжаев Р.Н. Квадратичные стохастические операторы, функция Ляпунова и турниры // Матем. сборник. — 1992. — Т. 183, № 8. — С. 119–140.
6. Ганиходжаев Р.Н. Карта неподвижных точек и функции Ляпунова для одного класса дискретных динамических систем // Матем. заметки. — 1994. — Т. 56, № 5. — С. 40–49.
7. Ganikhodzhaev R., Mukhamedov F., Rozikov U. Quadratic stochastic operators and processes: results and open problems // Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics. — 2011. — Vol. 14, No. 2. — P. 279–335.
8. Mukhamedov F., Ganikhodjaev N. Quantum Quadratic Operators and Processes. — Lecture Notes in Mathematics, Vol. 2133. — Cham: Springer, 2015.
9. Hofbauer J., Sigmund K. Evolutionary Games and Population Dynamics. — Cambridge: Cambridge University Press, 1998.
10. Rozikov U.A. Population Dynamics: Algebraic and Probabilistic Approach. — Singapore: World Scientific, 2020.
11. Ганиходжаев Р.Н., Эшмаматова Д.Б. Квадратичные автоморфизмы симплекса и асимптотическое поведение их траекторий // Владикавказский мат. журнал. — 2006. — Т. 8, № 2. — С. 12–28.
12. Ganikhodzhaev N.N., Zanin D.V. On a necessary condition for the ergodicity of quadratic operators defined on the two-dimensional simplex // Russian Mathematical Surveys. — 2004. — Vol. 59, No. 3. — P. 571–572.
